抽象函数常见题型及其解法

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。

不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。

抽象函数形式

幂函数：f(xy)=f(x)f(y)

正比例函数：f(xy)=f(x)f(y)

对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)

三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx

指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)

周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)

解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函数的性质。例如，中学涉及的函数性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性；常见的函数有指数函数、对数函数、三角函数、二次函数、对勾函数

选择合适的方法对解决抽象函数问题往往会起到事半功倍的效果。对于选择题，选用特殊值法、赋值法、图像法等等可以在很短的时间内得到答案，在应试时节省出不少时间。而对各种方法的理解，在解题中选择出合适的方法，则需要在平时的学习中多体会多感悟。